サイコロの確率・統計統計分布の平均値と標準偏差分散

学習環境

物理学講義統計力学 (松下貢(著)、裳華房)の第1章(サイコロの確率・統計)、1.2(統計分布の平均値と標準偏差)の問題1の解答を求めてみる。

平均値。

µ = \sum_{k = 1}^{6} k P (k)

= \frac{1}{6} (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)

= \frac{1}{6} \cdot \frac{6 \cdot (1 + 6)}{2}

= \frac{7}{2}

分散。

\sum_{k = 1}^{6} {(k - \frac{7}{2})}^{2} \frac{1}{6}

= \frac{1}{6} ({(\frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{5}{2})}^{2})

= \frac{2}{6 \cdot 4} (1^{2} + 3^{2} + 5^{2})

= \frac{1}{3 \cdot 4} (1 + 9 + 25)

= \frac{35}{3 \cdot 4}

= \frac{35}{12}

標準偏差。

\sqrt{\frac{35}{12}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{35}{12}} \approx \frac{1}{2} \sqrt{11.67} \approx \frac{3.42}{2} = 1.71

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import Rational, sqrt, pprint

print('1.')

ks = range(1, 7)
pk = Rational(1, 6)
u = sum([k * pk for k in ks])
sigma2 = sum([(u - k) ** 2 * pk for k in ks])
sigma = sqrt(sigma2)
for s, o in zip(['平均値(期待値)μ', '分散σ^2', '標準偏差σ'],
                [u, sigma2, sigma]):
    print(s)
    print()
    for t in [o, float(o)]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果

% ./sample1.py
1.
平均値(期待値)μ

7/2

3.5


分散σ^2

35
──
12

2.9166666666666665


標準偏差σ

√105
────
 6  

1.707825127659933


%