物理学のブログ

物体の運動の表し方 3次元空間の中での運動の記述 質点、原点との距離、速度、速さ、加速度、大きさ、内積、直交

物理学講義 力学 (松下 貢(著)、裳華房)の第1章(物体の運動の表し方)、1.5(3次元空間の中での運動の記述)の問題7の解答を求めてみる。

1

| r |
= x 2 + y 2
= A 2 cos 2 ( ω t + α ) + A 2 sin 2 ( ω t + α )
= A

2

v
= d dt ( x , y )
= ( - A ω sin ( ω t + α ) , A ω cos ( ω t + α ) )
| v | = A ω

3

a = d 2 dt 2 ( x , y ) = ( - A ω 2 cos ( ω t + α ) , - A ω 2 sin ( ω t + α ) ) = - ω 2 ( x , y )
| a | = A ω 2

また、加速度ベクトルは原点を向いている。

4

v · a = A 2 ω 3 sin ( ω t + α ) cos t ( ω t + α ) - A 2 ω 3 cos ( ω t + α ) sin ( ω t + α ) = 0

よって、速度と加速度は直交する。

コード(Wolfram)

x[t_] := r Cos[ω t + α]

y[t_] := r Sin[ω t + α]

Norm[{x, y}]
Output
Norm[{x[t], y[t]}]
Output
Simplify[%]
Output
Expand[%]
Output
Sqrt[x[t]^2 + y[t]^2]
Output
Simplify[%]
Output
vx[t_] := D[x[t], t]

vy[t_] := D[y[t], t]

vx[t]
Output
vy[t]
Output
Sqrt[vx[t]^2 + vy[t]^2]
Output
Simplify[%]
Output
ax[t_] := D[x[t], {t, 2}]

ay[t_] := D[y[t], {t, 2}]

{ax, ay}
Output
{ax[t], ay[t]}
Output
Norm[%]
Output
Sqrt[ax[t]^2 + ay[t]^2]
Output
Simplify[%]
Output
{vx[t], vy[t]} . {ax[t], ay[t]}

0
PolarPlot[Norm[{Cos[t], Sin[t]}], {t, 0, 2 Pi}]
Output