物理学のブログ

1変数関数の微分関数の1階微分、三角関数の微分、正弦と余弦、図による、幾何学的な証明

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学
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学習環境

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下貢(著)、裳華房)の第1章(微分)、1.1(1変数関数の微分)、1.1.1(関数の1階微分)、三角関数の微分の問題2の解答を求めてみる。

三角関数の定義より、

\begin{array}{l} \bar{O H} = r \cos x \\ \bar{O I} = r \cos (x + Δ x) \end{array}

また、

\bar{A B} ≅ r Δ x

なので、

\bar{A J} = \bar{A B} \sin x ≅ r Δ x \sin x

また、図から

\bar{O H} = \bar{O I} + \bar{I H} = \bar{O I} + \bar{A J}

よって、

\begin{array}{l} r \cos x ≅ r \cos (x + Δ x) + r Δ x \sin x \\ \cos x ≃ \cos (x + Δ x) + Δ x \sin x \\ \frac{\cos (+ Δ x) - \cos x}{Δ x} ≅ - \sin x \end{array}

ゆえに、

\frac{d}{dx} \cos x = - \sin x