物理学のブログ

微分 テイラー展開 係数、階乗

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下 貢(著)、裳華房)の第1章(微分)、1.2(テイラー展開)の問題9の解答を求めてみる。

f ( x ) = 1 1 + x f ' ( x ) = - 1 ( 1 + x ) 2 f ' ' ( x ) = 2 ( 1 + x ) ( 1 + x ) 4 = 2 ( 1 + x ) 3 f ( 3 ) ( x ) = - 2 · 3 ( 1 + x ) 2 ( 1 + x ) 6 = - 2 · 3 ( 1 + x ) 4 ⋮ f ( n ) ( x ) = ( - 1 ) n n ! ( 1 + x ) n + 1
1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n

コード(Wolfram)

Sum[(-1)^n x^n, {n, 0, Infinity}]
Output
Manipulate[
    Plot[
        {
            1 / (1 + x),
            Sum[(-1)^n x^n, {n, 0, m}]
        },
        {x, -5, 5},
        PlotRange -> {-5, 5},
        PlotLegends -> {"1 / (1 + x))", "n = " <> ToString[m]}
    ],
    {m, 0, 10, 1}
]
Output