物理学のブログ

微分 三角関数のテイラー展開 正弦

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下 貢(著)、裳華房)の第1章(微分)、1.2(テイラー展開)、三角関数のテイラー展開の問題10の解答を求めてみる。

f ( x ) = cos x

とおく。

f ( 1 ) ( x ) = - sin x f ( 2 ) ( x ) = - cos x f ( 3 ) ( x ) = sin x f ( 4 ) ( x ) = cos x
f ( 2 n ) ( 0 ) = ( - 1 ) n f ( 2 n + 1 ) ( 0 ) = 0

よって、

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n

（証明終）

コード(Wolfram)

Sum[(-1)^n / (2n)! x^(2n), {n, 0, Infinity}]
Output
Plot[
    Flatten[
        {
            Cos[x],
            Table[
                Sum[(-1)^n/(2n)! x^(2n), {n, 0, m}],
                {m, 0, 10, 1}
            ]
        }
    ],
    {x, -2Pi, 2Pi},
    PlotLegends -> "Expressions"
]
Output
fs = Flatten[{
    Cos[x],
    Table[
        Sum[(-1)^n/(2n)! x^(2n), {n, 0, m}],
            {m, 0, 5, 1}
    ]
}]
Output
Plot[
    fs, {x, -2Pi, 2Pi},
    PlotLegends -> "Expressions"
]
Output
Manipulate[
    Plot[{Cos[x], Sum[(-1)^n/(2n)! x^(2n), {n, 0, m}]},
         {x, -2Pi, 2Pi},
         PlotRange -> {-2Pi, 2Pi}],
    {m, 0, 10}
]
Output