物理学のブログ

微分 複素数とオイラーの公式 三角関数(正弦と余弦)を指数関数と複素数で表す

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下 貢(著)、裳華房)の第1章(微分)、1.5(複素数とオイラーの公式)、問題15の解答を求めてみる。

e i θ = cos θ + i sin θ e - i θ = e i ( - θ ) = cos ( - θ ) + i sin ( - θ ) = cos θ - i sin θ

加える。

e i θ + e - i θ = 2 cos θ

よって、

cos θ = e i θ + e - i θ 2

引く。

e i θ - e - i θ = 2 i sin θ

よって、

sin θ = e i θ - e - i θ 2 i

（証明終）

コード(Wolfram Language)

Cos[θ] == 1/2(Exp[I θ] + Exp[-I θ])
Output
Simplify[%]
Output
Sin[θ] == 1/(2I) (Exp[I θ] - Exp[-I θ])
Output
Simplify[%]
Output
Plot[
    {
        1/2(Exp[I θ] + Exp[-I θ]),
        1/(2I)(Exp[I θ] - Exp[-I θ])
    },
    {θ, -2Pi, 2Pi},
    PlotLegends -> "Expressions"
]
Output