物理学のブログ

微分複素数とオイラーの公式三角関数(正弦と余弦)、倍角、等式

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学
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学習環境

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下貢(著)、裳華房)の第1章(微分)、1.5(複素数とオイラーの公式)、問題16の解答を求めてみる。

\cos θ = {(\frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2})}^{2}

= \frac{1}{4} (e^{2 i θ} + e^{- 2 i θ} + 2)

= \frac{1}{2} (\frac{e^{i (2 θ)} + e^{- i (2 θ)}}{2} + 1)

= \frac{1}{2} (\cos 2 θ + 1)

\sin^{2} θ = {(\frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2 i})}^{2}

= - \frac{1}{4} (e^{i (2 θ)} + e^{- i (2 θ)} - 2)

= - \frac{1}{2} (\cos 2 θ - 1)

= \frac{1}{2} (1 - \cos 2 θ)

コード(Wolfram Language)

Cos[x]^2==(1+Cos[2x])/2

Output

Simplify[%]

Output

Sin[x]^2 == 1/2(1-Cos[2x])

Output

% // Simplify

Output

Plot[{Cos[x]^2, Sin[x]^2}, {x, -5, 5}, PlotLegends -> "Expressions"]

Output