積分初等関数の不定積分三角関数と指数関数の不定積分、正弦と余弦、倍角、対数関数

学習環境

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下貢(著)、裳華房)の第2章(積分)、2.4(初等関数の不定積分)、三角関数と指数関数の不定積分、問題5、6の解答を求めてみる。

5-1

\int \sin 2 x dx = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C

5-2

\int \cos 3 x dx = \frac{1}{3} \sin 3 x + C

5-3

\int e^{5 x} dx = \frac{1}{5} e^{5 x} + C

右辺を微分して確認。

\frac{d}{dx} (\frac{1}{\log a} a^{x} + c) = \frac{d}{dx} (\frac{1}{\log a} e^{x \log a} + C) = \frac{1}{\log a} (\log a) e^{x \log a} = a^{x}

左辺を積分して確認。

\int a^{x} dx = \int e^{x \log a} dx = \frac{1}{\log a} e^{x \log a} + C = \frac{1}{\log a} a^{x} + C

コード(Wolfram Language)

Integrate[{Sin[2 x], Cos[3 x], Exp[5x], a^x}, x] // Column

Plot[{Sin[2 x], -Cos[2 x] / 2}, {x, -5, 5}, PlotLegends -> "Expressions"]

Plot[{Cos[3 x], Sin[3 x] / 3}, {x, -5, 5}, PlotLegends -> "Expressions"]

Plot[{Exp[5x], Exp[5] / 5}, {x, -5, 5}, PlotLegends -> "Expressions"]

Plot[{2^x, 1 / Log[2] 2^x}, {x, -2, 2}, PlotLegends -> "Expressions"]