物理学のブログ

積分 置換積分 定積分の積分範囲 三角関数、正弦と余弦、指数関数

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下 貢(著)、裳華房)の第2章(積分)、2.5(置換積分)、定積分の積分範囲、問題11の解答を求めてみる。

1

t = x 2 + 2

とおくと、

1 2 + 2 = 3 3 2 + 2 = 11 dt dx = 2 x x dx = 1 2 dt

よって、

∫ 1 3 x sin ( x 2 + 2 ) dx = 1 2 ∫ 3 11 sin t dt = - 1 2 [ cos t ] 3 11 = 1 2 ( cos 3 - cos 11 )

2

1 ≤ x ≤ 6 x + 3 = t x + 3 = t 2 1 = 2 t dt dx
∫ 1 6 x x + 3 dx = ∫ 2 3 t 2 - 3 t · 2 t d τ = 2 ( [ 1 3 t 3 ] 2 3 - 3 [ t ] 2 3 ) = 2 ( 19 3 - 3 ) = 20 3

3

t = - x 2 2 dt dx = - x
∫ 0 2 x e - x 2 2 = - ∫ 0 - 2 e t dx = ∫ - 2 0 e t dt = [ e t ] - 2 0 = 1 - e - 2

コード(Wolfram Language)

Integrate[x Sin[x^2+2], {x, 1, 3}]
Output
Show[
    Plot[x Sin[x^2+2], {x, -5, 5}],
    Plot[x Sin[x^2+2], {x, 1, 3}, Filling -> Axis]
]
Output
f[x_] := x / Sqrt[x + 3]

Integrate[f[x], {x, 1, 6}]
Output
Show[
    Plot[f[x], {x, 0, 10}],
    Plot[f[x], {x, 1, 6}, Filling -> Axis, PlotRange -> {0, 3}]
]
Output
f[x_] := x Exp[-x^2/2]

Integrate[f[x], {x, 0, 2}]
Output
Show[
    Plot[f[x], {x, -5, 5}],
    Plot[f[x], {x, 0, 2}, Filling -> Axis]
]
Output