物理学のブログ

積分 置換積分 置換積分のいろいろな例 双曲線、対数関数

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下 貢(著)、裳華房)の第2章(積分)、2.5(置換積分)、置換積分のいろいろな例、問題9の解答を求めてみる。

t = f ( x )

とおくと、

dt dx = f ' ( x ) dt = f ' ( x ) dx

よって、

∫ f ' ( x ) f ( x ) dx = ∫ 1 t dt = log | t | + C = log | f ( x ) | + C

(Cは積分定数）

（証明終）

コード(Wolfram Language)

f[x_] := x^2
g[x_] := Sin[x]
h[x_] := Exp[x]

Integrate[{f'[x] / f[x], g'[x] / g[x], h'[x] / h[x]}, x]
Output
Log[{f[x], g[x], h[x]}]
Output
Plot[{f[x], Log[Abs[f[x]]]}, {x, -5, 5},
     PlotLegends -> "Expressions"]
Output
Plot[{g[x], Log[Abs[g[x]]]}, {x, -5, 5},
     PlotLegends -> "Expressions"]
Output
Plot[{h[x], Log[Abs[h[x]]]}, {x, -5, 5},
     PlotLegends -> "Expressions"]
Output