物理学のブログ

積分 置換積分 置換積分のいろいろな例 合成関数、累乗、逆数、三角関数、正弦と余弦

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下 貢(著)、裳華房)の第2章(積分)、2.5(置換積分)、置換積分のいろいろな例、問題8の解答を求めてみる。

1

t = x + 2

とおくと、

dt dx = 1
∫ ( x + 2 ) 2 dx = ∫ t 2 dt = 1 3 t 3 = 1 3 ( x + 2 ) 3

2

t = 3 x + 1 dt dx = 3 ∫ 1 3 x + 1 dx = 1 3 ∫ 1 t dt = 1 3 log | t | = 1 3 log ( 3 x + 1 )

3

t = 2 x - 3 dt dx = 2 ∫ sin ( 2 x - 3 ) dx = 1 2 ∫ sin t dt = - 1 2 cos t = - 1 2 cos ( 2 x - 3 )

（積分定数C は省略）

コード(Wolfram Language)

fs = {(x+2)^3, 1/(3x+1), Sin[2x-3]}
Output
Integrate[fs, x]
Output
% // Simplify
Output
% // TraditionalForm
Output
Plot[
    {fs[[1]], Evaluate[Integrate[fs[[1]], x]]},
    {x, -5, 5},
    PlotRange -> {-5, 5},
    PlotLegends -> "Expressions"
]
Output
Plot[
    {fs[[2]], Evaluate[Integrate[fs[[2]], x]]},
    {x, -5, 5},
    PlotRange -> {-5, 5},
    PlotLegends -> "Expressions"
]
Output
Plot[
    {fs[[3]], Evaluate[Integrate[fs[[3]], x]]},
    {x, -5, 5},
    PlotRange -> {-5, 5},
    PlotLegends -> "Expressions"
]
Output