物理学のブログ

積分 置換積分 置換積分のいろいろな例 平方根、指数関数、累乗

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下 貢(著)、裳華房)の第2章(積分)、2.5(置換積分)、置換積分のいろいろな例、問題10の解答を求めてみる。

1

t = x 2 + 3

とおくと、

t 2 = x 2 + 3 2 t = 2 x dx dt t dt = x dx
∫ x x 2 + 3 dx = ∫ t · t dt = 1 3 t 3 + C = 1 3 ( x 2 + 3 ) x 2 + 3 + C

2

t = x 2 + 1 t 2 = x 2 + 1 2 t = 2 x dx dt x 2 = t 2 - 1
∫ x 3 x 2 + 1 dx = ∫ t ( t 2 - 1 ) t dt = 1 5 t 5 - 1 3 t 3 + C = 1 5 ( x 2 + 1 ) 2 x 2 + 1 - 1 3 ( x 2 + 1 ) 2 x 2 + 1 + C

3

t = x 2 dt dx = 2 x
∫ x e x 2 dx = 1 2 ∫ e t dt = 1 2 e x 2 + C

コード(Wolfram Language)

f[x_] := x Sqrt[x^2+3]

Integrate[f[x], x]
Output
Plot[{%, f[x]}, {x, -5, 5}, PlotRange -> {-5, 5}]
Output
f[x_] := x^3 Sqrt[x^2+1]

Integrate[f[x], x]
Output
1/5(x^2+1)^(5/2)-1/3(x^2+1)^(3/2) - %
Output
Simplify[%]

0
Plot[{f[x], Evaluate[Integrate[f[x], x]]},
     {x, -5, 5},
     PlotRange -> {-5, 5},
     PlotLegends -> "Expressions"
]
Output
f[x_] := x Exp[x^2]

Integrate[f[x], x]
Output
Plot[{%, f[x]}, {x, -5, 5},
     PlotRange -> {-5, 5},
     PlotLegends -> "Expressions"
]
Output