物理学のブログ

1変数関数の微分 関数の高階微分 三角関数(正弦と余弦)、平方、平方根

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下 貢(著)、裳華房)の第1章(微分)、1.1(1変数関数の微分)、1.1.4(関数の高階微分)の問題8の解答を求めてみる。

1

d 2 d x 2 sin ( a x + b ) = d dx a ( cos ( a x + b ) ) = - a 2 sin ( a x + b )

2

d 2 d x 2 cos ( a x + b ) = d dx ( - a ( sin ( a x + b ) ) ) = - a 2 cos ( a x + b )

3

d 2 d x 2 ( x 2 + 1 ) = 2

4

d 2 dx 2 x = d dx 1 2 x = 1 2 · - 1 2 x x = - 1 4 x x

5

d 2 dx 2 x sin x = d dx ( sin x + x cos x ) = cos x + cos x - x sin x = 2 cos x - x sin x

コード(Wolfram)

f[x_, a_, b_] := Sin[a x + b]

D[f[x, a, b], {x, 2}]
Output
Manipulate[
    Plot[
        {Sin[a x + b], a Cos[a x + b], -a^2 Sin[a x + b]},
        {x, -5, 5},
        PlotRange -> {-5, 5},
        PlotLegends -> {"f(x)", "f'(x)", "f''(x)"}
    ],
    {a, -2, 2},
    {b, -2, 2}
]
Output
f[x_] := Cos[a x + b]

f''[x]
Output
Manipulate[
    Plot[
        {Cos[a x + b], -a Sin[a x + b], -a^2 Cos[a x + b]},
        {x, -5, 5},
        PlotRange -> {-5, 5},
        PlotLegends -> {"f(x)", "f'(x)", "f''(x)"}
    ],
    {a, -2, 2},
    {b, -2, 2}
]
Output
f[x_] := x^2 + 1

f''[x]

2
Plot[{x^2 + 1, 2 x, 2}, {x, -5, 5}, PlotLegends -> "Expressions"]
Output
f[x_] := Sqrt[x]

f''[x]
Output
Plot[{Sqrt[x], 1 / (2 Sqrt[2]), -1/(4x Sqrt[x])},
     {x, -5, 5},
     PlotLegends -> "Expressions"]
Output