物理学のブログ

微分方程式微分方程式の階数ニュートンの運動方程式とエネルギー保存則

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学
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学習環境

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下貢(著)、裳華房)の第3章(微分方程式)、3.1(微分方程式の階数)、問題1の解答を求めてみる。

m \frac{d^{2} x}{{dt}^{2}} = f (x)

\frac{dx}{dt} m \frac{d^{2} x}{{dt}^{2}} = \frac{dx}{dt} f (x)

fの原始関数を

- V (x)

とおく。

m \frac{dx}{dt} \frac{d}{dt} (\frac{dx}{dt}) = - \frac{d V (x)}{dx} \frac{dx}{dt}

xをtの関数と考えれば、

\frac{1}{2} m \frac{d}{dt} {(\frac{dx}{dt})}^{2} = - \frac{d}{dt} V (x (t))

\frac{d}{dt} (\frac{1}{2} m {(\frac{dx}{dt})}^{2} + V (x (t))) = 0

よって、

\frac{1}{2} m {(\frac{dx}{dt})}^{2} + V (x)

は定数である。

この定数をEとおけば、

\frac{1}{2} m {(\frac{dx}{dt})}^{2} + V (x) = E