物理学のブログ

微分方程式 微分方程式の階数 ニュートン の運動方程式とエネルギー保存則

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下 貢(著)、裳華房)の第3章(微分方程式)、3.1(微分方程式の階数)、問題1の解答を求めてみる。

m d 2 x dt 2 = f ( x )
dx dt m d 2 x dt 2 = dx dt f ( x )

fの原始関数を

- V ( x )

とおく。

m dx dt d dt ( dx dt ) = - d V ( x ) dx dx dt

xをtの関数と考えれば、

1 2 m d dt ( dx dt ) 2 = - d dt V ( x ( t ) )
d dt ( 1 2 m ( dx dt ) 2 + V ( x ( t ) ) ) = 0

よって、

1 2 m ( dx dt ) 2 + V ( x )

は定数である。

この定数をEとおけば、

1 2 m ( dx dt ) 2 + V ( x ) = E