物理学のブログ

微分方程式 1階微分方程式 定係数1階微分方程式 非同次の定係数一階微分方程式、一般解 多項式、指数関数、三角関数、正弦と余弦、積

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下 貢(著)、裳華房)の第3章(微分方程式)、3.2(1階微分方程式)、3.2.3(定係数1階微分方程式)、非同次の定係数一階微分方程式、問題7の解答を求めてみる。

1

同次方程式

y ' - 2 y = 0

の一般解は特性方程式より、

y g = c e 2 x
y p = a 0 + a 1 x

とおく。

y p ' - 2 y = 1 + 2 x

を満たす係数を求める。

( a 1 - 2 a 0 ) - 2 a 1 x = 1 + 2 x
a 1 = - 1 a 0 = - 1

求める定係政1階微分方程式の一般解は、

y = y p + y q = - 1 - x + c e 2 x

実際に方程式に代入にて確認。

y ' - 2 y = - 1 + 2 c e 2 x + 2 + 2 x - 2 c e 2 x = 1 + 2 x

2

y g = c e - x
y p = a e x
y p ' + y p = 2 e x
a e x + a e x = 2 e x
a = 1
y = y p + y g = e x + c e - x
y ' + y = e x - c e - x + e x + c e - x = 2 e x

3

y g = c e x
y p = a 0 sin x + a 1 cos x
y p ' - y p = cos x
a 0 cos x - a 1 sin x - a 0 sin x - a 1 cos x = cos x
a 0 - a 1 = 1 a 0 + a 1 = 0
a 0 = 1 2 a 1 = - 1 2
y = y p + y g = 1 2 sin x - 1 2 cos x + c e x
y ' - y = 1 2 cos x + 1 2 sin x + c e x - 1 2 sin x + 1 2 cos x - c e x = cos x

4

y g = c e - 2 x
y p = ( a 0 + a 1 x ) e x
y p ' + 2 y p = x e x
a 1 e x + ( a 0 + a 1 x ) e x + 2 ( a 0 + a 1 x ) e x = x e x
( 3 a 0 + a 1 ) e x + 3 a 1 x e x = x e x
a 1 = 1 3 a 0 = - 1 9
y = y p + y g = ( - 1 9 + 1 3 x ) e x + c e - 2 x
y ' + 2 y = - 1 9 e x + 1 3 e x + 1 3 x e x - 2 c e - 2 x - 2 9 e x + 2 3 x e x + 2 c e - 2 x = x e x

コード(Wolfram Language)

DSolve[y'[x] - 2y[x] == 1 + 2x, y[x], x]
Output
DSolve[y'[x] + y[x] == 2 Exp[x], y[x], x]
Output
DSolve[y'[x] - y[x] == Cos[x], y[x], x]
Output
DSolve[y'[x] + 2y[x] == x Exp[x], y[x], x]
Output
Show[
    VectorPlot[{1, 2x+2y+1} / Norm[{1, 2x+2y+1}], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}],
    Plot[Evaluate[
        Table[
            -1-x+c Exp[2x],
            {c, -5, 5}
        ]],
        {x, -5, 5}
    ]
]
Output
Show[
    VectorPlot[{1, 2Exp[x] - y} / Norm[{1, 2Exp[x] - y}], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}],
    Plot[Evaluate[
        Table[
            Exp[x] + c Exp[-x],
            {c, -5, 5}
        ]],
        {x, -5, 5}
    ]
]
Output
Show[
    VectorPlot[{1, Cos[x] + y} / Norm[{1, Cos[x] + y}], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}],
    Plot[
        Evaluate[
            Table[1/2(Sin[x] - Cos[x]) + c Exp[x], {c, -5, 5}]
        ],
        {x, -5, 5}
    ]
]
Output
Show[
    VectorPlot[{1, x Exp[x] - 2 y} / Norm[{1, x Exp[x] - 2 y}], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}],
    Plot[
        Evaluate[
            Table[
                (-1/9+1/3x)Exp[x] + c Exp[-2x],
                {c, -5, 5}
            ]
        ],
        {x, -5, 5}
    ]
]
Output