微分方程式 1階微分方程式定係数1階微分方程式非同次の定係数一階微分方程式、一般解多項式、指数関数、三角関数、正弦と余弦、積

学習環境

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下貢(著)、裳華房)の第3章(微分方程式)、3.2(1階微分方程式)、3.2.3(定係数1階微分方程式)、非同次の定係数一階微分方程式、問題7の解答を求めてみる。

同次方程式

y' - 2 y = 0

の一般解は特性方程式より、

y_{g} = c e^{2 x}

y_{p} = a_{0} + a_{1} x

とおく。

y_{p}' - 2 y = 1 + 2 x

を満たす係数を求める。

(a_{1} - 2 a_{0}) - 2 a_{1} x = 1 + 2 x

\begin{array}{l} a_{1} = - 1 \\ a_{0} = - 1 \end{array}

求める定係政1階微分方程式の一般解は、

y = y_{p} + y_{q} = - 1 - x + c e^{2 x}

実際に方程式に代入にて確認。

y' - 2 y = - 1 + 2 c e^{2 x} + 2 + 2 x - 2 c e^{2 x} = 1 + 2 x

y_{g} = c e^{- x}

y_{p} = a e^{x}

y_{p}' + y_{p} = 2 e^{x}

a e^{x} + a e^{x} = 2 e^{x}

a = 1

y = y_{p} + y_{g} = e^{x} + c e^{- x}

y' + y = e^{x} - c e^{- x} + e^{x} + c e^{- x} = 2 e^{x}

y_{g} = c e^{x}

y_{p} = a_{0} \sin x + a_{1} \cos x

y_{p}' - y_{p} = \cos x

a_{0} \cos x - a_{1} \sin x - a_{0} \sin x - a_{1} \cos x = \cos x

\begin{array}{l} a_{0} - a_{1} = 1 \\ a_{0} + a_{1} = 0 \end{array}

\begin{array}{l} a_{0} = \frac{1}{2} \\ a_{1} = - \frac{1}{2} \end{array}

y = y_{p} + y_{g} = \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x + c e^{x}

y' - y = \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x + c e^{x} - \frac{1}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x - c e^{x} = \cos x

y_{g} = c e^{- 2 x}

y_{p} = (a_{0} + a_{1} x) e^{x}

y_{p}' + 2 y_{p} = x e^{x}

a_{1} e^{x} + (a_{0} + a_{1} x) e^{x} + 2 (a_{0} + a_{1} x) e^{x} = x e^{x}

(3 a_{0} + a_{1}) e^{x} + 3 a_{1} x e^{x} = x e^{x}

\begin{array}{l} a_{1} = \frac{1}{3} \\ a_{0} = - \frac{1}{9} \end{array}

y = y_{p} + y_{g} = (- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} x) e^{x} + c e^{- 2 x}

y' + 2 y = - \frac{1}{9} e^{x} + \frac{1}{3} e^{x} + \frac{1}{3} x e^{x} - 2 c e^{- 2 x} - \frac{2}{9} e^{x} + \frac{2}{3} x e^{x} + 2 c e^{- 2 x} = x e^{x}

コード(Wolfram Language)

DSolve[y'[x] - 2y[x] == 1 + 2x, y[x], x]

DSolve[y'[x] + y[x] == 2 Exp[x], y[x], x]

DSolve[y'[x] - y[x] == Cos[x], y[x], x]

DSolve[y'[x] + 2y[x] == x Exp[x], y[x], x]

Show[
    VectorPlot[{1, 2x+2y+1} / Norm[{1, 2x+2y+1}], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}],
    Plot[Evaluate[
        Table[
            -1-x+c Exp[2x],
            {c, -5, 5}
        ]],
        {x, -5, 5}
    ]
]

Show[
    VectorPlot[{1, 2Exp[x] - y} / Norm[{1, 2Exp[x] - y}], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}],
    Plot[Evaluate[
        Table[
            Exp[x] + c Exp[-x],
            {c, -5, 5}
        ]],
        {x, -5, 5}
    ]
]

Show[
    VectorPlot[{1, Cos[x] + y} / Norm[{1, Cos[x] + y}], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}],
    Plot[
        Evaluate[
            Table[1/2(Sin[x] - Cos[x]) + c Exp[x], {c, -5, 5}]
        ],
        {x, -5, 5}
    ]
]

Show[
    VectorPlot[{1, x Exp[x] - 2 y} / Norm[{1, x Exp[x] - 2 y}], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}],
    Plot[
        Evaluate[
            Table[
                (-1/9+1/3x)Exp[x] + c Exp[-2x],
                {c, -5, 5}
            ]
        ],
        {x, -5, 5}
    ]
]

$Output$