物理学のブログ

微分方程式 1階微分方程式 1階線形微分方程式 非同次微分方程式の一般解 指数関数、特解

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下 貢(著)、裳華房)の第3章(微分方程式)、3.2(1階微分方程式)、3.2.2(1階線形微分方程式)、非同次微分方程式の一般解、問題5の解答を求めてみる。

y ' + 2 y = 0

の一般解は、

y g = c e - ∫ x 2 dt = c e - 2 x

また、

y ' + 2 y = 4

の特解の1つは

y p = 2

よって、

y ' + 2 y = 4

の一般解は、

y = 2 + e - 2 x

微分、代入して実際に確認。

y ' = - 2 e - 2 x
- 2 e - 2 x + 2 ( 2 + e - 2 x ) = 4

コード(Wolfram Language)

DSolve[y'[x] + 2 y[x] == 4, y[x], x]
Output
Show[
    VectorPlot[{1, -2y+4} / Norm[{1, -2y + 4}], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}],
    Plot[
        Evaluate[Table[2 + c Exp[-2x], {c, -5, 5}]],
        {x, -5, 5},
        PlotLegends -> "Expressions"
    ]
]
Output