微分方程式 2階微分方程式定係数2階微分方程式同次微分方程式の一般解特性方程式、重解をもつ場合

学習環境

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下貢(著)、裳華房)の第3章(微分方程式)、3.3(2階微分方程式)、3.3.2(定係数2階微分方程式)、(1)同次微分方程式の一般解、問題8の解答を求めてみる。

\frac{d y}{d x} = e^{- \frac{a}{2} x} - \frac{a}{2} x e^{- \frac{a}{2} x}

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{a}{2} e^{- \frac{a}{2} x} - \frac{a}{2} e^{- \frac{a}{2} x} + {(- \frac{a}{2})}^{2} x e^{- \frac{a}{2} x}

\frac{{dy}^{2}}{{dx}^{2}} + a \frac{dy}{dx} + b y

= - a e^{- \frac{a}{2} x} + \frac{a^{2}}{4} x e^{- \frac{a}{2} x} + a e^{- \frac{x}{2} x} - \frac{a^{2}}{2} x e^{- \frac{a}{2} x} + \frac{a^{2}}{4} x e^{- \frac{a}{2} x}

= 0

コード(Wolfram Language)

DSolve[y''[x] + a y'[x] + a^2/4y[x] == 0, y[x], x]

y[x] := x Exp[-a/2x]

D[y[x], {x, 2}] + a D[y[x], x] + a^2/4 y[x]

Simplify[%]