微分方程式 2階微分方程式定係数2階微分方程式同次微分方程式の一般解計算、特性方程式、重解をもつ場合、複素解の場合、三角関数、正弦と余弦、指数関数

学習環境

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下貢(著)、裳華房)の第3章(微分方程式)、3.3(2階微分方程式)、3.3.2(定係数2階微分方程式)、(1)同次微分方程式の一般解、問題9の解答を求めてみる。

特性方程式。

λ^{2} - 5 λ + 4 = 0

解を求める。

\begin{array}{l} (λ - 1) (λ - 4) = 0 \\ λ = 1, 4 \end{array}

よって、求める問題の微分方程式の一般解は、

y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{4 x}

\begin{array}{l} λ^{2} - 6 λ + 9 = 0 \\ {(λ - 3)}^{2} = 0 \\ λ = 3 \end{array}

y = (c_{1} + c_{2} x) e^{3 x}

\begin{array}{l} λ^{2} - 4 λ + 8 = 0 \\ λ = 2 \pm \sqrt{4 - 8} = 2 \pm 2 i \end{array}

y = e^{2 x} (c_{1} \cos 2 x + c_{2} \sin 2 x)

他の表現。

y = A e^{2 x} \cos (2 x + δ)

コード(Wolfram Language)

DSolve[y''[x] - 5 y'[x] + 4 y[x] == 0, y[x], x]

sln = y[x] /. %

g sln[[1]]

DSolveValue[y''[x] - 6y'[x] + 9y[x] == 0, y[x], x]

Simplify[%]

% // TraditionalForm

DSolveValue[y''[x] - 4 y'[x] + 8y[x] == 0, y[x], x]

Simplify[%]

y[x_] := a Exp[2x]Cos[2x+δ]

y''[x] - 4y'[x] + 8y[x]

Simplify[%]