物理学のブログ

微分方程式 2階微分方程式 定係数2階微分方程式 同次微分方程式の一般解 計算、特性方程式、重解をもつ場合、複素解の場合、三角関数、正弦と余弦、指数関数

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下 貢(著)、裳華房)の第3章(微分方程式)、3.3(2階微分方程式)、3.3.2(定係数2階微分方程式)、(1)同次微分方程式の一般解、問題9の解答を求めてみる。

1

特性方程式。

λ 2 - 5 λ + 4 = 0

解を求める。

( λ - 1 ) ( λ - 4 ) = 0 λ = 1 , 4

よって、 求める問題の微分方程式の一般解は、

y = c 1 e x + c 2 e 4 x

2

λ 2 - 6 λ + 9 = 0 ( λ - 3 ) 2 = 0 λ = 3
y = ( c 1 + c 2 x ) e 3 x

3

λ 2 - 4 λ + 8 = 0 λ = 2 ± 4 - 8 = 2 ± 2 i
y = e 2 x ( c 1 cos 2 x + c 2 sin 2 x )

他の表現。

y = A e 2 x cos ( 2 x + δ )

コード(Wolfram Language)

DSolve[y''[x] - 5 y'[x] + 4 y[x] == 0, y[x], x]
Output
sln = y[x] /. %
Output
g sln[[1]]
Output
DSolveValue[y''[x] - 6y'[x] + 9y[x] == 0, y[x], x]
Output
Simplify[%]
Output
% // TraditionalForm
Output
DSolveValue[y''[x] - 4 y'[x] + 8y[x] == 0, y[x], x]
Output
Simplify[%]
Output
y[x_] := a Exp[2x]Cos[2x+δ]
y''[x] - 4y'[x] + 8y[x]
Output
Simplify[%]
0