物理学のブログ

積分 多重積分 2重積分 領域

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下 貢(著)、裳華房)の第2章(積分)、2.7(多重積分)、2.7.1(2重積分)、問題15、16、17の解答を求めてみる。

問題15

D = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 } ∬ D ( x + y ) dx dy
= ∫ 0 1 ( ∫ 0 1 ( x + y ) dy ) dx
= ∫ 0 1 ( x + 1 2 ) dx
= [ 1 2 x 2 + 1 2 x ] 0 1
= 1 2 + 1 2
= 1

問題16

D = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 | 0 ≤ x ≤ 1 - y , 0 ≤ y ≤ 1 }
∬ D x y dx dy
= ∫ 0 1 ( ∫ 0 1 - y x y dx ) dy
∫ 0 1 - y x y dx = [ 1 2 x 2 y ] 0 1 - y = 1 2 ( 1 - y ) 2 y = 1 2 ( y 3 - 2 y 2 + y )
1 2 ∫ 0 1 ( y 3 - 2 y 2 + y ) dy = 1 2 [ 1 4 y 4 - 2 3 y 3 + 1 2 y ] 0 1
= 1 2 ( 1 4 - 2 3 + 1 2 )
= 1 2 · 3 - 8 + 6 12
= 1 24

問題17

D = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 - x }
∬ D x y dx dy
= ∫ 0 1 ( ∫ 0 1 - x x y dy ) dx
∫ 0 1 - x x y dy = [ 1 2 x y 2 ] 0 1 - x = 1 2 x ( 1 - x ) 2 = 1 2 ( x 3 - 2 x 2 + x )
1 2 ∫ 0 1 ( x 3 - 2 x 2 + x ) dx = 1 2 [ 1 4 x 4 - 2 3 x 3 + 1 2 x 2 ] 0 1
= 1 2 ( 1 4 - 2 3 + 1 2 )
= 1 24

コード(Wolfram Language)

Integrate[Integrate[x + y, {x, 0, 1}], {y, 0, 1}]

1
Integrate[x + y, {y, 0, 1}, {x, 0, 1}]

1
Integrate[x + y, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]

1
Plot3D[x + y, {x, -5, 5}, {y, -5, 5},
           BoxRatios -> {1, 1, 1},
       AxesLabel -> Automatic]
Output
Integrate[x y, {y, 0, 1}, {x, 0, 1 - y}]
Output
Integrate[x y, {x, 0, 1}, {y, 0, 1 - x}]
Output
Integrate[Integrate[x y, {x, 0, 1 - y}], {y, 0, 1}]
Output
Plot3D[x y, {x, -5, 5}, {y, -5, 5},
       BoxRatios -> {1, 1, 1},
       AxesLabel -> Automatic]
Output