物理学のブログ

積分 多重積分 3重積分 2重積分の拡張、積分領域、立方体

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下 貢(著)、裳華房)の第2章(積分)、2.7(多重積分)、2.7.2(3重積分)、問題20の解答を求めてみる。

V = { ( x , y , z ) ∈ ℝ 3 | 0 ≤ x ≤ | ∧ 0 ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 1 }
∭ V x y z dx dy dz
= ∫ 0 1 ( ∫ 0 1 ( ∫ 0 1 x y z dx ) dy ) dz
∫ 0 1 x y z dx = 1 2 [ x 2 y z ] 0 1 = 1 2 y z
∫ 0 1 1 2 y z dy = 1 4 [ y 2 z ] 0 1 = 1 4 z
1 4 ∫ 0 1 z dz = 1 8

よって、

∭ V x y z dx dy dz = 1 8

コード(Wolfram Language)

Integrate[x y z, {z, 0, 1}, {y, 0, 1}, {x, 0, 1}]
Output
Manipulate[
    Plot3D[x y z, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, PlotRange -> {-125, 125}],
    {z, -5, 5}
]
Output