物理学のブログ

積分多重積分 3重積分 3次元極座標による3重積分球の体積

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学
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学習環境

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下貢(著)、裳華房)の第2章(積分)、2.7(多重積分)、2.7.2(3重積分)、3次元極座標による3重積分問題21の解答を求めてみる。

V = {(r, θ, φ) \in ℝ^{3} | 0 \leq r \leq a \land 0 \leq θ \leq π \land 0 \leq φ \leq 2 π}

\underset{V}{∭} r^{2} \sin θ d r d θ d φ = \int_{0}^{a} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} r^{2} \sin θ d θ d φ d r

\int_{0}^{π} \sin θ d θ = {[- \cos θ]}_{0}^{π} = 2

\int_{0}^{2 π} 2 r^{2} ϕ = 4 π r^{2}

\int_{0}^{a} 4 π r^{2} d r = \frac{4}{3} π a^{3}

コード(Wolfram Language)

a = 2;

RegionPlot3D[x^2 + y^2 + z^2 <= a^2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, {z, -5, 5}]

Output

Integrate[r^2Sin[θ], {r, 0, b}, {phi, 0, 2Pi}, {θ, 0, Pi}]

Output