物理学のブログ

積分 部分積分 部分積分の具体例 累乗と指数関数、三角関数、正弦と余弦

力学・電磁気学・熱力学のための基礎数学 (松下 貢(著)、裳華房)の第2章(積分)、2.6(部分積分)、部分積分の具体例、問題14の解答を求めてみる。

1

∫ 0 ∞ x 2 e - x dx = - [ x 2 e - x ] 0 ∞ + 2 ∫ 0 ∞ x e - x dx
= 2 ( - [ x e - x ] 0 ∞ + ∫ 0 ∞ e - x dx )
= - 2 [ e - x ] 0 ∞
= 2

2

∫ 1 2 ( x - 1 ) ( x - 2 ) 2 dx = [ ( x - 1 ) 1 3 ( x - 2 ) 3 ] 1 2 - ∫ 1 2 1 3 ( x - 2 ) 3 dx
= - 1 3 · 1 4 [ ( x - 2 ) 4 ] 1 2
= 1 12

3

∫ 0 π 2 x sin x dx = [ - x cos x ] 0 π 2 + ∫ 0 π 2 cos x dx
= [ sin x ] 0 π 2
= 1

コード(Wolfram Language)

Integrate[x^2Exp[-x], {x, 0, Infinity}]

2
Integrate[(x-1)(x-2)^2, {x, 1, 2}]
Output
Integrate[x Sin[x], {x, 0, Pi/2}]

1
Plot[x^2Exp[-x], {x, 0, 10}, Filling -> Axis]
Output
Show[
    Plot[(x-1)(x-2)^2, {x, -5, 5}, PlotRange -> {-5, 5}],
    Plot[(x-1)(x-2)^2, {x, 1, 2}, Filling -> Axis]
]
Output
Show[
    Plot[x Sin[x], {x, -5, 5}],
    Plot[x Sin[x], {x, 0, Pi / 2}, Filling -> Axis]
]
Output